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Gastbeitrag “Corona und Mathematik” (Dietrich Dörner)

Beim nachfolgenden Gastbeitrag handelt es sich um einen Text unseres Ehrendoktors Dietrich Dörner, der seit vielen Jahrzehnten dynamische Prozesse untersucht. In den 1980er Jahren hat er sich intensiv mit der AIDS-Epidemie, insbesondere deren Fallzahlen beschäftigt (nur zwei beispielhafte Quellen: Dörner, D. (1985). Zeitabläufe, Aids und Kognition. Sprache & Kognition, 4, 175–177. - Koch, M., L’Age-Stehr, J., Gonzalez, J. S., & Dörner, D. (1987). Die Epidemiologie von Aids. Spektrum der Wissenschaft, 1(8), 38–51.) und sich immer für Modelle bzw. Simulationen der Wirklichkeit als Erklärungsansätze interessiert. Für meine eigene Forschung im Bereich des Umgangs mit komplexen Systemen war das sehr wichtig (und es hat immerhin 40 Jahre freundlichen Streits bedurft, um einen gemeinsamen Artikel  - Dörner & Funke 2017 -  zu verfassen, ein Fall von adversarial collaboration).

Im vorliegenden Gastbeitrag zeigt Dietrich Dörner die Nützlichkeit (und geradezu unglaubliche Vorhersagekraft!) einer mathematischen Funktion (der Gompertz-Funktion) zur Modellierung von Corona-Fallzahlen (auch wenn die politischen Implikationen einen erneuten Anlass zum Streit bedeuten könnten). Lesen Sie selbst!

Gastbeitrag “Corona und Mathematik”. Von Prof. Dr. Dietrich Dörner, Universität Bamberg

Wenn etwas Neues geschieht, und besonders, wenn dieses Neue bedrohlich erscheint, möchte man gerne wissen, warum es geschieht und warum es so geschieht wie das der Fall ist. Denn wenn man etwas von etwas anderem ableiten kann, es berechnen kann, dann heißt das, dass es bestimmten Gesetzen gehorcht. Und dann ist es schon viel weniger bedrohlich; denn man weiß dann, wovon das Geschehen abhängt und das kann bedeuten, dass man eine Abhilfe finden kann.

Warum geschieht „Corona“ und wie geschieht es? Auf die Frage „wie?“ kann man oberflächlich leicht antworten; auf der Abbildung 1 sieht man den Zuwachs der Neuinfizierten Tag für Tag vom 1. September 2020 bis zum Weihnachtsfest. Auf die Frage „wie?“ kann man also antworten „so!“. Und auf Abbildung 1 zeigen. Hier sieht man (hellblau) die Zuwachszahlen, so wie sie vom Robert-Koch-Institut von Tag zu Tag berichtet werden. Dann sieht man eine Kurve aus blauen Quadraten; diese zeigt den Zuwachs von Tag zu Tag als gleitenden Mittelwert, als 7-Tage-Mittel; die Werte werden also berechnet, indem zum Wert eines Tages die sechs vorausgehenden Werte hinzuaddiert werden und die Summe durch 7 geteilt wird. (Das kann man auch anders machen, zum Beispiel so, dass die jeweils aktuelle Zahl in der Mitte steht und man die Summe bildet, indem man die drei vorlaufenden und die drei nachlaufenden Werte zum mittleren Wert addiert und das ganze durch 7 teilt. Dann hat man ein zentriertes 7-Tage-Mittel. Dieser Unterschied ist schon wichtig, da man sonst leicht verwirrende Ergebnisse erhält; wenn man die sechs vorlaufenden Wert zum siebten addiert, bekommt das 7-Tage-Mittel einen „Rechtsdrall“; die aktuellen Werte sind „vergangenheitslastig“.)

Abbildung 1: Die Entwicklung der Anzahl der Neuinfizierten vom 1. September bis zum 24. Dezember 2020. Hellblau: Anzahl der Neuinfektionen pro Tag nach dem RKI. Blaue Quadrate: 7-Tage-Mittel der Anzahl der Neuinfektionen pro Tag.

Was geschieht in dem Prozess, der auf Abbildung 1 dargestellt wird? Und warum läuft der Prozess gerade so ab? Das sieht – auf den ersten Blick – zumindest im hinteren Teil ziemlich „unordentlich“ aus! Zuerst geht es langsam los; dann aber wird der Anstieg steiler. Dann wieder schwächer und es folgt eine Art Plateau, das langsam absinkt. Soweit noch ganz gut; das ist ein Sigmoid! – Aber dann sieht man gar nicht mehr so genau, was los ist; es wird einfach „unordentlich“; man erkennt keine Regel! Es gibt wieder einen Aufstieg, dem ein weiteres Plateau vom 11. bis zum 16. Dezember folgt. Dann gibt es wieder einen Anstieg und wieder ein Plateau, aber ein kleineres. – Was geht hier vor?

Eine Infektion ist ein biologisches Geschehen. Das Virus vermehrt sich, so gut es kann und das tut es, in dem es immer mehr Personen infiziert. Das hat aber eine natürliche Grenze, nämlich in der Anzahl der infizierbaren Personen. Biologische Wachstumsprozesse lassen sich gewöhnlich als Sigmoide (Sigma = griechisch S) beschreiben, als eine Struktur also, die einem S, welches man an der oberen Hälfte nach rechts zieht, ähnlich ist. Ein solcher sigmoidaler Verlauf ist in der Abbildung 1 beobachtbar, nämlich vom 1. September bis etwa zum 15. November. – Warum aber bildet sich ein Sigmoid und nicht zum Beispiel eine exponentiell verlaufende Kurve? Das ist einfach zu beantworten; das Wachstum „frisst“ gewissermaßen seine eigenen „Ressourcen“. Je mehr die Anzahl der Infizierten anwächst, desto weniger können neu infiziert werden und dadurch nimmt die Wachstumsrate immer mehr ab, um schließlich gegen Null zu gehen.

Eine sehr allgemeine Wachstumsfunktion ist die Gompertz-Funktion. Benjamin Gompertz (1779 – 1865) war ein britischer Jude, der, weil er Jude war, nicht studieren durfte. Dennoch wurde er im Jahre 1819 in die Royal Society aufgenommen. (So ganz stringent war also der britische Rassismus nicht.) – Gompertz befasste sich unter anderem mit „Sterbetabellen“ also mit der Frage, wie die Entwicklung der Häufigkeit von Todesfällen mit steigendem Alter zu- und schließlich natürlich wieder abnimmt (weil einfach immer weniger Leute da sind, die sterben können). Solche Zahlen benötigen die Versicherungsanstalten, um die Versicherungsgebühren so zu berechnen, dass eben ein erfreulicher Betrag für den Versicherungsnehmer im Erlebensfall abfällt, auf der anderen Seite aber auch für die Versicherungsgesellschaft ein befriedigender Profit gesichert ist. (Die Gompertz-Funktion ist mithin ein echtes Produkt einer „kapitalistischen“ Kalkulation; damit sie Gewinn abwirft, muss sie stimmen!) Gompertz entwickelte (oder entdeckte) im Jahre 1825 die Gompertz-Funktion als eine allgemeine Funktion, die viele verschiedene Wachstumsverläufe (genauer: unendlich viele!) zu berechnen gestattet. Die Formel lautet:

y = A × e^(-e^(B - C × x))

(Das Zeichen ‚^‘ sollte man hier ‚hoch‘ lesen und ‚e‘ ist die Eulersche Zahl, nämlich 2.71828 … .) – Für den konkreten Fall muss man die Parameter A, B, und C schätzen. Erfreulicherweise reicht als Grundlage für die Schätzung im Extremfall neben dem Beginn der Entwicklung ein einziges Datum! Bei stark zufallsbehafteten Daten sollte man aber vielleicht doch lieber auf drei oder vier Datenpunkte oder eine kurze Serie zurückgreifen. Man wird dann, wenn man das ganze am Rechner macht, erstaunt beobachten können, wie „Gompertz“ – wie von Zauberhand – aus einer kurzen Serie, die fast wie eine Gerade aussieht, einen ziemlich komplizierten Kurvenverlauf macht.

(Mit den Parametern A = 1026000, B = 3.46, C = 0.046 und x = 1 .… 75 können Sie die 7-Tage-Mittelwerte der Abbildung 1 ganz gut errechnen. Nehmen Sie zum Beispiel x = 65. Das ist also auf der Abbildung 1 der 4. November. Und dann rechnen Sie bitte

y = 1026000 × 2.71828^(-2.71828^(3.46 - 0.046 × 65))

Wenn Sie nun für y irgendetwas herausbekommen haben, was ungefähr so aussieht wie „207147.03.“, dann haben Sie richtig gerechnet! Das ist nun die Gesamtzahl der Infizierten nach 65 Tagen. Diese Zahl wollen Sie aber gar nicht; sie wollen das Wachstum zu diesem Zeitpunkt. Das bekommen Sie ganz einfach, indem Sie von der obenstehenden Zahl die Gesamtzahl der Infizierten nach 64 Tagen abziehen. Damit Sie nicht zu rechnen brauchen: das ist 192118.054! Das Wachstum am 65 Tag beträgt mithin 15028.97. Zu dieser Zahl sollten Sie noch 1288 addieren, das ist eine Wachstumskonstante, die so etwas wie eine Basis darstellt, ein Grundwachstum, auf dem die Entwicklung aufsetzt. (Das ist so ungefähr das tägliche Wachstum von Neuinfizierten, das zwischen dem 1. Mai und dem 31. August 2020 durchschnittlich der Fall war. Die sogenannte „zweite Welle“ setzt auf diesem Grundwachstum auf. – Diese additive Konstante bezeichnen wir in Abbildung 2 als „Ae0“. Ae0 kann aber auch eine Funktion sein, zum Beispiel ein Gompertz-Wachstum, das die Basis ist, auf der ein anderes Wachstum (welches natürlich auch ein Gompertz-Wachstum sein kann), aufsetzt. – Dafür folgt unten ein Beispiel!)

Sie bekommen also nun für den 4. November das von Benjamin Gompertz vorausgesagte Wachstum von 16316.97. Das Wachstum, welches das RKI berichtet, ist – bei einer 7-Tage-Mittelung – = 16192.976. – Also ich finde, wenn man bedenkt, dass Benjamin Gompertz keine Ahnung hatte von Corona und auch nicht von der bisherigen Entwicklung, wenn man ihm nur gesagt hätte: „es gibt hier eine Entwicklung, die am 1. September 2020 beginnt und die durch folgende drei Punkte (1. …, 2. …, 3. …) geht. Nun sagen Sie uns doch bitte einmal welchen Wert diese Entwicklung am 4. November 2020 haben wird?“ – Und wenn er nun antworten würde: „16316.97!“, dann würde man ja wohl doch sagen: „Benjamin Gompertz kann hellsehen!“ Und zwar über eine Distanz von 195 Jahren hinweg. (Benjamin Gompertz kann uns auch verraten, wann die Entwicklung zu einem Plateau einschwenkt und was dann weiterhin geschieht in den nächsten 200 Tagen.)

Die Gompertz-Funktion ist eine Funktion von großer Eleganz, großer Intelligenz und erstaunlich einfach, für das, was sie leistet!

Die Parameter A, B, C bedeuten folgendes: A ist der Grenzwert, dem die Funktionswerte zustreben, also in unserem Fall zum Beispiel die Gesamtanzahl der schließlich Infizierten. B ist die Entfernung des Wendepunktes der Kurve (der Wendepunkt ist der Zeitpunkt, von dem an die Wachstumsraten nicht mehr zu-, sondern abnehmen.) Wenn B klein ist, so wird der Anstieg der Wachstumsraten schnell sehr steil; die Anzahl der Neuinfizierten pro Zeiteinheit wird also schnell recht groß. Das ist zum Beispiel auf hoch vernetzte Gruppen, in denen häufig die Kontakte wechseln, zurückzuführen. In einer solchen Gruppe breitet sich die Infektion, wenn erst einmal eine Person infiziert worden ist, explosionsartig aus. (Nein! Selbst dann nicht exponentiell! Sondern auch dann mit fallenden Wachstumsraten!) – C ist die „Schlankheit“ der Funktionsentwicklung; mit großen Werten von C bilden sich relativ große „Bäuche“ nach unten rechts bzw. nach oben links in der zweiten Hälfte. Das bedeutet zum Beispiel, dass eine Wachstumskurve einen schnellen Start, aber ein sehr langen „Schwanz“ haben kann. Das ist zu erwarten, wenn eine Population gewissermaßen inhomogen vernetzt ist, also zum einen hoch vernetzte Mitglieder enthält, die einander leicht infizieren können, aber auch relativ schwer erreichbare Personen, die allein oder in abgeschotteten Gruppen leben und deren Infektion größere „Schwierigkeiten“ macht. Mit der Schätzung der Parameter A, B und C erprobt man also in unserem Fall gewissermaßen sozialpsychologische Hypothesen. Man sagt etwas aus über die Merkmale der Beziehungsstrukturen der Population, in der sich Corona ausbreitet.

In Abbildung 1 sinkt das Wachstum nach dem 14. November aber nicht stark ab, wie es eigentlich zu erwarten wäre. Vielmehr sinkt es erst noch ein wenig, nimmt dann erst langsam, schließlich aber schneller bis zum 11. Dezember wieder zu, dann flacht es ab, um aber etwa am 18. Dezember einen erneuten „Sprint“ zu beginnen, der am 20. Dezember aber wieder abflacht. Merkwürdig und gefährlich; irgendwie scheint die ganze Angelegenheit keiner Regel mehr zu gehorchen. In der Presse hieß es: das Wachstum ist außer Kontrolle! Das stimmt aber nicht. Betrachten wir nun die Abbildung 2!

Abbildung 2: Die Entwicklung der Anzahl der Neuinfizierten und die Berechnung der entsprechenden Zahlen mithilfe der Gompertz-Funktion: Rote Quadrate: Gompertz-Werte (theoretische Werte). Blaue Quadrate: 7-Tage-Mittel der Anzahl der Neuinfektionen pro Tag. Rote Rauten: Fortentwicklung der „zweiten Welle“ nach der dem Einsetzen der „dritten Welle“. Gelbe Rauten: die dritte Welle nach Gompertz, isoliert dargestellt. Grüne Dreiecke: Summe der Zuwächse der „zweiten Welle“, eigentliches Gompertz-Wachstum (Achtung! Anderer Maßstab: 1:2500; Standard-Maßstab: 1:100).

Hier gibt es mehr Kurven zu sehen, aber alles erscheint „ordentlicher“. Gompertz überall. Hier sieht man die „zweite Welle“, deren Zuwachs nach dem Höhepunkt etwa am 14. November zunehmend abflacht, abzusinken beginnt, aber noch Anfang Februar 2021 etwa 2000 Neuinfizierte pro Tag beträgt. (Die Kurve mit den roten Rauten ist die Fortsetzung der „zweiten Welle“. Die sollte auch man nämlich nicht vergessen! Es gibt sie nämlich immer noch!) – Etwa ab dem 19. November setzt sich auf diese Kurve eine andere auf, die aber auch wieder gut durch eine Gompertz-Funktion beschrieben werden kann, deren Parameter man (blaue Schrift!) oben links auf Abb. 2 sieht. Man sieht diese Gompertz-Funktion als gelben Kurvenverlauf rechts unten, der etwa am 19. November beginnt. Wenn man diese auf die „zweite Welle“ aufsetzt, bekommt man die Fortsetzung der Kurve der Neuinfizierten als Summe aus „zweiter“ und „dritter Welle“, als Gompertz-Verläufe. Wir haben hier also einfach zwei Gompertz-Funktionen „huckepack“!

Aber diese Entdeckung muss man erst einmal machen; denn der erste Eindruck, den man von dem Verlauf der Entwicklung der Anzahl der Neuinfizierten vom 19. November an hat (siehe Abbildung 1), ist keineswegs „gompertzsch“. Man sieht „Gompertz“ erst dann, wenn man den weiteren Verlauf des Wachstums der „zweiten Welle“ nach dem 19. November betrachtet. Man kann dann sehen, dass die „dritte Welle“ gewissermaßen dadurch verzerrt wird, dass das jeweilige Wachstum auf der abflauenden „zweiten Welle“ aufsitzt. Wenn man die lichtgrauen Senkrechten von „Welle 2“ zu den 7-Tage-Mittelwerten (blaue Quadrate) auf eine waagerechte Unterlage stellt, und nicht auf die abflauende „zweite Welle“, wird das ganz deutlich. Und dann kann man die Parameter A, B, C für die Gompertz-Funktion schätzen. Und bekommt – bis auf zwei „Ausreißer“ – um den 12. und den 17. Dezember herum – gute Übereinstimmungen mit der Realität. (Auf die beiden „Ausreißer“ gehen wir noch ein!).

Quintessenz also: alles Gompertz! – Wir können aber nicht nur die Vergangenheit beschreiben, sondern auch die Zukunft voraussagen. Die Kurve der Anzahl der Neuinfizierten sollte etwa am 10. Januar 2021 die 20,000-Linie schneiden, um dann weiter abzusinken; am 7. Februar gibt es dann „nur noch“ etwa 7500 Neuinfizierte. – Nebenbei: wenn Sie so halbwegs mit Excel umgehen können, können Sie das alles selbst ziemlich leicht berechnen und ausrechnen, mit wieviel Neuinfizierten wir am Ostersonntag 2021 rechnen müssen.
Und schon mit dem ersten Parametersatz konnte man die „zweite Welle“ ganz gut voraussagen. (Wir verblüfften im Oktober Kollegen mit der Voraussage, dass zu Weihnachten etwa mit 7-8000 Neuinfizierten zu rechnen sei, sehr. (Die Bundeskanzlerin hatte für die zweite Welle eine bei weitem größere Anzahl von Neuinfizierten „exponentiell“ ermittelt!) Wenn man nur die „zweite Welle“ betrachtet, so erwies sich unsere Schätzung als richtig.)

Die gesamte Infektionsentwicklung in der Bundesrepublik lässt sich also, obwohl auf den ersten Blick sehr „unordentlich“, sehr einfach, nämlich mit einer einzigen Funktion, beschreiben. Sie lautet:

y = 1288 + 1026000 × e^(- e^(3.46 - 0.046 × x)) + 975000 × e^ (-e^ (4.05-0.045 × (x-45)))

Die Passung der Gompertz-Funktion zur Realität ist recht gut; man könnte auch sagen: sehr gut! Und dass das Ganze Zufall ist, ist sehr unwahrscheinlich. Wirklich sehr unwahrscheinlich; die Wahrscheinlichkeit liegt unter 1/1.000.000.

Es stellen sich aber einige Fragen:

1.    Auf der Abbildung 2 sieht man zwei sehr große Abweichungen der empirischen von der theoretischen Kurve, also der 7-Tage-Mittelwerte (blaue Quadrate) von der Gompertz-Kurve (rote Quadrate). Und zwar geht diese Abweichung (am 12. Dezember) zunächst nach oben; es findet sprunghaft eine große Vermehrung der Neuinfektionen statt. Und wenige Tage später (am 17. Dezember) kommt es dann zu einer gegenläufigen Entwicklung etwa gleicher Größe, die Neuinfektionen nehmen sehr stark ab. Hier sieht es so aus, als wären versehentlich oder absichtlich die Neuinfektionszahlen zunächst nach oben, dann aber – korrigierend? – nach unten verschoben worden. Dass diese beiden Veränderungen, die sich also wechselseitig aufheben, durch Zufall aufgetreten sind, ist sehr unwahrscheinlich.

2.    Man intendierte ja, durch Lockdowns, Reisebeschränkungen, Quarantäne, Maskenzwang, Ausgangsverbote, Geschäftsschließungen usw. usw. den Gang der Infektionen zu verändern, zu verlangsamen oder ganz zum Stillstand zu bringen. Alle diese Maßnahmen, die ja eigentlich zu einer Veränderung der Parameter der Neuinfektionen hätten führen müssen, also dazu, dass die Gompertz-Funktion nicht mehr zu den blauen Quadraten passt, sind in der Abbildung 2 gänzlich unsichtbar. Es ist so, als hätte es diese Maßnahmen nicht gegeben! Wo sind die Effekte? („Die Maßnahmen waren einfach zu schwach!“ meint die Bundesregierung. Ein wenig ähnelt dieses Verhalten dem Tun des Autofahrers, der immer wieder vergeblich versucht, sein Auto anzulassen, ohne zu merken, dass kein Sprit im Tank ist.)

Abbildung 3: Verlauf der Anzahl der Neuinfizierten im März und April 2020 und die zugehörige Gompertz-Funktion. Etwa ab dem 1. Mai liegt das 7-Tage-Mittel deutlich über der Gompertz-Funktion. Warum?

Das Vertrauen in Lockdowns usw. hängt wahrscheinlich auch damit zusammen, dass man glaubt, man hätte im März und April mit diesen Maßnahmen ja doch einen sehr guten Erfolg erzielt. Das aber könnte ein Irrtum sein. Auf Abbildung 3 sieht man, dass das Geschehen im März und April keineswegs auf den Lockdown usw. zurück zu führen zu sein braucht. Man sieht in Abbildung 3, dass sich das Geschehen im März und April 2020 auch allein durch den natürlichen Wachstumsprozess erklären ließe. Der Lockdown könnte also ganz unnötig gewesen sein! (Es könnte sogar sein, dass „die Maßnahmen“ nicht nur nichts genutzt, sondern geschadet haben; auf Abbildung 3 kann man deutlich sehen, dass sich nach der akuten Phase das Verhalten verschoben hat und nun deutlich riskanter wurde. Die Infektionszahlen liegen sehr deutlich über den Gompertz-Erwartungen. Und das könnte darauf zurückzuführen sein, dass man durch den relativ glimpflichen Verlauf der „ersten Welle“ und durch die Zurückführung dieses Ausgangs auf die staatlichen Maßnahmen das Gefühl bekommen hat, nunmehr „Corona“ im Griff zu haben. Und deshalb wurde man leichtsinnig. Und das könnte immerhin in nicht unbeträchtlichen Weise zu den mehr als 2000 Todesfällen von Mai bis Mitte Juli beigetragen haben!) – In ihrer Regierungserklärung am 29. Oktober 2020 meinte die Bundeskanzlerin, dass die geplanten Maßnahmen „geeignet, erforderlich und verhältnismäßig“ seien. Es erwies sich bislang, dass sie weder geeignet, also auch nicht erforderlich und deshalb schon gar nicht verhältnismäßig waren. – Die EU-Einschätzung der Bundeskanzlerin ist wahrscheinlich darauf zurückzuführen, dass sie die Maßnahmen im März und April als Erfolge ihrer Politik verbucht hat. Benjamin Gompertz meint, dass die Infektionszahlen etwa ab Weihnachten zurückgehen werden. Mal sehen, auf welchem Konto dieser Rückgang Ende Januar verbucht werden wird!

3.    So, das ist nun zweifellos die Stimme der Wissenschaft, die soeben gesprochen hat. Die Stimme der Wissenschaft? Oder eine Stimme der Wissenschaft? Kann man nun der Wissenschaft glauben? Doch, sicherlich kann es so geschehen, wie Benjamin Gompertz das voraussagt. Nach Weihnachten geht es abwärts mit Corona! Und Anfang Februar 2021 haben wir nur noch 7500 Neuinfizierte am Tag. – Aber die Wissenschaft weiß auch: „Bedenke, dass es immer auch ganz anders sein kann!“ (Georg Christoph Lichtenberg). Wir gehen immer auf schwankendem Boden, auch mit der Wissenschaft. Aber es besteht ja durchaus die Möglichkeit, dass sich aus den vielen Wellenbewegungen, die sich mit „Corona“ in der Bundesrepublik Deutschland abspielen, plötzlich eine Koordination verschiedener Wellen zu einer vierten oder fünften großen Welle ergibt. Dann geht es wieder aufwärts mit „Corona“. Oder, dass wir vielleicht Fehler gemacht haben bei der Schätzung der Gompertz-Parameter für die „dritte Welle“ (bei der „zweiten Welle“ gibt es viele Indizien dafür, dass die geschätzten Parameter wohl(!) richtig sind). Kleine Ungenauigkeiten bei der Parameterschätzung, die vielleicht in den ersten eineinhalb Monaten der „dritten Welle“ keine Rolle spielten, könnten doch die Voraussage des weiteren Verlaufs ändern?

Voltaire meinte nicht „nur so“ und aus allgemeiner Menschenfreundlichkeit, dass man alles (alles!) sagen dürfe. Denn nur so kann man sicher sein, dass auch die vielleicht für manche Zeitgenossen „inplausiblen“ Auffassungen ausgesprochen werden, also auch das, was heute (da es nicht mit dem allgemein für wahr gehaltenen Theorien übereinstimmt) als „Verschwörungstheorie“ abqualifiziert wird. Viele Behauptungen, die den jeweiligen Zeitgenossen als völlig inplausibel erschienen, erwiesen sich später als Wahrheiten. Vielleicht ist die Abqualifikation von „Verschwörungstheorien“ in 99 % der Fälle richtig. Wenn man sie aber alle abqualifiziert, verliert man auch das eine Prozent, das man beachten sollte. – Geschwindigkeiten sind relativ! Wenn ich mich in einem Vorortzug, der sich mit 50 km/h seinem Ziel nähert, mit 5 km/h in die Gegenrichtung bewege, dann bewege ich mich nur mit 45 km/h in Richtung auf das Ziel! Das ist doch klar! „Nee!“ meinte Einstein, „das ist gar nicht klar; für die Lichtgeschwindigkeit gilt das nicht!!“ – Fast wäre Einstein im Jahre 1905 wegen des Versuchs der Verbreitung dieses Blödsinns aus der wissenschaftlichen Szene entfernt worden! Wenn da nicht Max Planck gewesen wäre, der für Blödsinn einen gewissen Sinn aufbrachte!

„Prüfet alles! Das Gute aber behaltet!“ meinte Rousseau. Rousseau sagte nicht: „Prüfet alles, außer den „Verschwörungstheorien“! – Es empfiehlt sich sehr, sich von der Wissenschaft beraten zu lassen, aber ihren Aussagen bedingungslos zu vertrauen, empfiehlt sich nicht. Es gibt zum Beispiel in der Physik Leute, die meinen, dass sich Einstein „quantenphysikalisch“ sehr geirrt habe und es gibt andere, die meinen, dass die Lichtgeschwindigkeit keine Konstante, sondern eine Variable sei. Ich finde die Idee, dass die Naturgesetze einer Evolution unterworfen sind, sehr interessant!

Und zum Abschluss: das alles sieht ganz hübsch aus! Und ist ein Triumph für Benjamin Gompertz! Aber: es ist in bestimmter Weise nicht verallgemeinerbar! Das sieht man schon daran, dass man, wie in diesem Fall, für die Gompertz-Funktion verschiedene Parametersätze verwenden musste, die also populationsspezifisch sind. Nun haben wir in der Bundesrepublik schätzungsweise 300 vor sich hin schmurgelnde „Infektionswellen“. Und für jede bräuchten wir wahrscheinlich einen jeweils spezifischen Parametersatz, da die sozialen Beziehungsstrukturen ganz verschieden sein dürften. „Gompertz“ ist vermutlich immer noch ein allzu niedriger Auflösungsgrad. Besser wäre eine echte Computersimulation des gesamten Geschehens. Auch das wäre wohl machbar, erfordert aber einen Aufwand, den einer allein nicht erbringen kann!

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Hinweis von J.F.: An der Universität des Saarlandes gibt es (eingerichtet von Thorsten Lehr) einen Covid-19-Simulator.